Содержание
- 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 1.2. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
- 3.2. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 29°, ∠CDA = 61°. Ответ выразите в градусах.
- 3.3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 36°, ∠CDA = 54°. Ответ выразите в градусах.
- 3.4. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 31°, ∠CDA = 59°. Ответ выразите в градусах.
- 4. Последовательность чисел (an)определяется следующим образом: a1=2, a2=1213, an=an−2⋅an−12an−2−an−1 для всех n=3 , 4 , …. Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
- 5. График квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c при a>0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15 . Найдите c.
- Число или дробь Найдите f(1)+f(−1) .
- 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−ab¯¯¯¯¯−cd¯¯¯¯¯−ef¯¯¯¯¯ для некоторого шестизначного числа abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000?Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
- 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n≤10 n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1% , второй 2% , … , n ‑й , после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты: 800 820 825 830 850 890
- 8. Окружности ω1 и ω2 имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4.Окружность ω3 это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω1 и ω2 и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω4 касается внутренним образом ω1и ω2 и внешним ω3 . Найдите радиус окружности ω4.
Содержание
1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21
1.2. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 22
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 23
2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5, 6, 7
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 8, 9, 10
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21, 22, 23
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15, 16, 17
3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114
3.2. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 29°, ∠CDA = 61°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 122
3.3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 36°, ∠CDA = 54°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 108
3.4. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 31°, ∠CDA = 59°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 118
4. Последовательность чисел (an)определяется следующим образом: a1=2, a2=1213, an=an−2⋅an−12an−2−an−1 для всех n=3 , 4 , … . Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
Ответ:
5. График квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c при a>0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15 . Найдите c.
Ответ: -36/5
Число или дробь Найдите f(1)+f(−1) .
Ответ: -1271/90
6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−ab¯¯¯¯¯−cd¯¯¯¯¯−ef¯¯¯¯¯ для некоторого шестизначного числа abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Ответ: 5001
7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n≤10 n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1% , второй 2% , … , n ‑й , после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты: 800 820 825 830 850 890
Ответ: 830, 890
8. Окружности ω1 и ω2 имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω3 это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω1 и ω2 и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω4 касается внутренним образом ω1и ω2 и внешним ω3 . Найдите радиус окружности ω4.
Ответ: 7/8
