Содержание
- 1. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5×4(уголок это прямоугольник 5×4, из которого удалили прямоугольник 4×3) толщиной в одну клетку.На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
- 1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 × 3 (уголок — это прямоугольник 5 × 3, из которого удалили прямоугольник 4 × 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
- 1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 × 4 (уголок — это прямоугольник 5 × 4, из которого удалили прямоугольник 4 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
- 1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 × 4 (уголок — это прямоугольник 6 × 4, из которого удалили прямоугольник 5 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
- 2. Натуральное число a a разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное c2 и остаток r2. Разделив c2 на r2 , получили c3=2 и r3=3 При каком наименьшем a a такое возможно?
- 2.2. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 4 и r₃ = 2.
- 2.3. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 4. При каком наименьшем a такое возможно?
- 2.4. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 3. При каком наименьшем a такое возможно?
- 3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец.Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
- 3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
- 3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
- 3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
- 4. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число? Наибольшее: Число Наименьшее:
- 4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
- 4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
- 4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
- 5. В последовательности a1=9, a2=2, a3=13, … каждый член определяется двумя предыдущими:an+1=an+1an−1.Найдите a60.
- 6. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
- 7. В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB точку E, так что BD=AE, а DE=BE.Найдите величину угла CEA, если ∠ABC=26∘. Ответ выразите в градусах.
- 8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4 таковы, что четыре прямые y=a1x+b1, y=a2x+b2, y=a3x+b3, y=a4x+b4 пересекаются в одной точке. Числа c1, c2, c3, c4 это числа b1, b2 , b3 , b4 , записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y=a1x+c1, y=a2x+c2, y=a3x+c3, y=a4x+c4 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.
Содержание
1. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5×4(уголок это прямоугольник 5×4, из которого удалили прямоугольник 4×3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 1302
1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 × 3 (уголок — это прямоугольник 5 × 3, из которого удалили прямоугольник 4 × 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 2576
1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 × 4 (уголок — это прямоугольник 5 × 4, из которого удалили прямоугольник 4 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 3002
1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 × 4 (уголок — это прямоугольник 6 × 4, из которого удалили прямоугольник 5 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1362
2. Натуральное число a a разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное c2 и остаток r2. Разделив c2 на r2 , получили c3=2 и r3=3 При каком наименьшем a a такое возможно?
Ответ: 239
2.2. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 4 и r₃ = 2.
Ответ: 299
2.3. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 4. При каком наименьшем a такое возможно?
Ответ: 629
2.4. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 3. При каком наименьшем a такое возможно?
Ответ: 359
3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 9
3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 2
4. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число? Наибольшее: Число Наименьшее:
Ответ: 69 и 2
4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 60 и 2
4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 51 и 2
4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 40 и 21
5. В последовательности a1=9, a2=2, a3=13, … каждый член определяется двумя предыдущими:an+1=an+1an−1.Найдите a60.
Ответ:
6. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
Ответ: 3300
7. В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB точку E, так что BD=AE, а DE=BE.Найдите величину угла CEA, если ∠ABC=26∘. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 39°
8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4 таковы, что четыре прямые y=a1x+b1, y=a2x+b2, y=a3x+b3, y=a4x+b4 пересекаются в одной точке. Числа c1, c2, c3, c4 это числа b1, b2 , b3 , b4 , записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y=a1x+c1, y=a2x+c2, y=a3x+c3, y=a4x+c4 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.
Ответ: 60
